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如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)．證明下列結(jié)論：
（1）AG=

1

2

AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D₁、E₁、F₁分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，連接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等邊三角形，此時(shí)△AD₁F₁的面積S₁=

1

4

S，△D₁E₁F₁的面積S₁=

1

4

S．
（1）當(dāng)D₂、E₂、F₂分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB時(shí)如圖2，
①求證：△D₂E₂F₂是等邊三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面積S₂，則S₂=______；若用S表示△D₂E₂F₂的面積S₂′，則S₂′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
當(dāng)D_n、E_n、F_n分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB時(shí)，（n為正整數(shù)）△D_nE_nF_n是______三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面積S_n，則S_n=______；若用S表示△D_nE_nF_n的面積S_n′，則S′_n=______．

如圖所示，已知AB=AC，∠APC=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若BC=4

3

，求⊙O的面積．

如圖①，M、N點(diǎn)分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）如圖②，如果點(diǎn)M、N分別移動(dòng)到BC、CA的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給予證明；若不成立，說明理由．

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分別以O(shè)A，OB邊所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，D點(diǎn)為x軸正半軸上的一點(diǎn)，以O(shè)D為一邊在第一象限內(nèi)做等邊△ODE．
（1）如圖（1），當(dāng)E點(diǎn)恰好落在線段AB上，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在（1）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移如圖，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、CA上的點(diǎn)，且BD=CE．
（1）求證：AD=BE；（2）求∠AFE的度數(shù)．

為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了思路點(diǎn)撥，你可以依照這個(gè)思路填空，并完成本題解答的全過程，當(dāng)然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，進(jìn)行解答即可．
如圖，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延長(zhǎng)BC，使CE=CD，連接DE，求證：BC+DC=AC．
思路點(diǎn)撥：
（1）由已知條件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是______三角形；
（2）同理由已知條件∠BCD=120°得到∠DCE=______，且CE=CD，可知______；
（3）要證BC+DC=AC，可將問題轉(zhuǎn)化為兩條線段相等，即______=______；
（4）要證（3）中所填寫的兩條線段相等，可以先證明…．請(qǐng)你完成證明過程：

如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，已知點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三角形的三邊距離之和PD+PE+PF等于（　�。�

A． 3

B．2 3

C．4 3

D．無(wú)法確定

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，D是AB上一點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△ECD，連接AE，求證：∠CAE=∠CBA．
（2）在上題（1）中，當(dāng)D點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，如圖②所示，請(qǐng)你補(bǔ)畫出題意的圖形，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作等邊三角形ADE，DE與AC交于點(diǎn)F．
（1）試判斷DF與EF的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．
（2）若CF的長(zhǎng)為2cm，試求等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．