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如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點C為OA的中點，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n），求出m，n之間的關(guān)系式．

已知二次函數(shù)y=-

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0），B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積和周長．

實踐應(yīng)用：下承式混凝土連續(xù)拱圈梁組合橋，其橋面上有三對拋物線形拱圈．圖（1）是其中一個拱圈的實物照片，據(jù)有關(guān)資料記載此拱圈高AB為10.0m（含拱圈厚度和拉桿長度），橫向分跨CD為40.0m．
（1）試在示意圖（圖（2））中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出拱圈外沿拋物線的解析式；
（2）在橋面M（BC的中點）處裝有一盞路燈（P點），為了保障安全，規(guī)定路燈距拱圈的距離PN不得少于1.1m，試求路燈支柱PM的最低高度．（結(jié)果精確到0.1m）

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過C、D、B三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）連接DB，P是線段BC上一動點（P不與B、C重合），過點P作PE∥BD交CD于E，則當(dāng)△DEP面積最大時，求PE的解析式；
（3）作點D關(guān)于此拋物線對稱軸的對稱點F，連接CF交對稱軸于點M，拋物線上一動點R，x軸上一動點Q，則在拋物線上是否存在點R，x軸上是否存在點Q，使得以C、M、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

已知：如圖一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

如圖，已知拋物線y=-

3

4

x²+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標(biāo)為-1，過點C（0，3）的直線y=-

3

4t

x+3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）寫出點B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設(shè)點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當(dāng)點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標(biāo)和△PDE的周長；
（4）設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

涪陵榨菜是重慶市農(nóng)村經(jīng)濟中產(chǎn)銷規(guī)模最大、品牌知名度最高、輻射帶動能力最強的特色支柱產(chǎn)業(yè)．某知名榨菜企業(yè)為順應(yīng)市場需求推出了“五味榨菜”禮盒，成本為20元/盒．年銷售量y（萬盒）與售價x（元/盒）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）結(jié)合圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）求“五味榨菜”禮盒的年獲利w（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)售價為多少元時可以獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？
（3）去年，公司一直按照（2）中獲得最大利潤時的售價進行銷售，今年在保持售價不變的基礎(chǔ)上，公司發(fā)力品牌營銷，決定拿出部分資金進行廣告宣傳．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：①每年有11萬盒產(chǎn)品供給固定客戶，其余產(chǎn)品全部被潛在客房購買；②若廣告投入為a萬元，則潛在客戶的購買量將是去年購買量的m倍，則m=-

1

900

(a-30)2+2；③受公司生產(chǎn)規(guī)模及資金限制，公司的年產(chǎn)量不超過28萬盒，廣告投入不超過32萬元．問公司在廣告上投入多少資金可以使公司獲得最大利潤，最大利潤為多少萬元？（利潤=總銷售額-總成本-廣告費）

已知如圖，對稱軸為直線x=4的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點B、O．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接AB，平移AB所在的直線，使其經(jīng)過原點O，得到直線l．點P是l上一動點，當(dāng)△PAB的周長最小時，求點P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)△PAB的周長最小時，在直線AB的上方是否存在一點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（規(guī)定：點Q的對應(yīng)頂點不為點O）

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸于點C，點D為對稱軸l上的一個動點．
（1）求當(dāng)AD+CD最小時，點D的坐標(biāo)；
（2）以點A為圓心，以AD為半徑作⊙A
①證明：當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標(biāo)______．