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某機械租賃公司有同一型號的機械設備40套．經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當每套機械設備的月租金為270元時，恰好全部租出．在此基礎上，當每套設備的月租金每提高10元時，這種設備就少租出一套，且沒租出的一套設備每月需支出費用（維護費、管理費等）20元．設每套設備的月租金為x（元），租賃公司出租該型號設備的月收益（收益=租金收入-支出費用）為y（元）．
（1）用含x的代數(shù)式表示未出租的設備數(shù)（套）以及所有未出租設備（套）的支出費；
（2）求y與x之間的二次函數(shù)關系式；
（3）當月租金分別為300元和350元時，租賃公司的月收益分別是多少元？此時應該出租多少套機械設備？請你簡要說明理由；
（4）請把（2）中所求出的二次函數(shù)配方成y=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

的形式，并據(jù)此說明：當x為何值時，租賃公司出租該型號設備的月收益最大？最大月收益是多少？

某商家經(jīng)銷一種綠茶，已知綠茶每千克成本50元，在試銷時間內(nèi)發(fā)現(xiàn)：
單價定為每千克70元時，月銷售量為l00千克，銷售單價每提高5元，月銷量減少10，設該綠茶的銷售單價為每千克x元（x≥70），月銷售利潤為y（元）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；
（2）若用于裝修門面已投資3000元，該商家在第一個月里，銷售單價為每千克85元，在第二個月里受物價部門干預，銷售單價不得高于90元，在第二個月銷售結束后發(fā)現(xiàn)這兩個月不僅收回投資，而且剛好獲得1700元的利潤，求第二個月時該綠茶的銷售單價為多少元？

如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=-

2

3

x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點．
（1）直接寫出點B、點C坐標；
（2）求該二次函數(shù)的解析式；
（3）結合函數(shù)的圖象探索，直接寫出不等式-

2

3

x2+bx+c≥0的解集為______．

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應的函數(shù)關系式；
（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖（a），點F、G、H、E分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿著正方形的邊向C、D、A、B運動．若設運動時間為x（s），問：
（1）四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結論；
（2）若正方形ABCD的邊長為2cm，四邊形EFGH的面積為y（cm²），求y關于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；
（3）若改變點的連接方式（如圖（b）），其余不變．則當動點出發(fā)幾秒時，圖中空白部分的面積為3cm²．

如圖，已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點M，與y軸的交點為A，過點A的直線y=x+c與x軸交于點N，與這個二次函數(shù)的圖象交于點B．
（1）求點A、B的坐標（用含b、c的式子表示）；
（2）當S_△BMN=4S_△AMN時，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點P為x軸上的一個動點，那么是否存在這樣的點P，使得以P、A、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，拋物線y=

3

8

x²-

3

4

x+c分別交x軸的負半軸和正半軸于點A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸的負軸于點C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，動點P從點A出發(fā)向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)向終點C運動，P、Q的運動速度均為每秒1個單位長度，且當其中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間是t秒．

（1）試說明OB=2OA；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（4）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸的右交點為A，頂點D在矩形OABC的邊BC上，當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直線y=mx+n經(jīng)過拋物線的頂點D，該直線在矩形OABC內(nèi)部分割出的三角形的面積記為S，求S與m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍．

如圖所示，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段的OM上，點A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值；
（3）連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點Q（除點M外），使得△OPQ也是等腰三角形，簡要說明你的理由．

已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=

1

2

x²上的三點，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁A₃于點C．
（1）如圖，若A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖，若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=

1

2

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA₂的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．