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如圖，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P與Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PQC和△ABC相似？

四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)DE、CF．
（1）若四邊形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如圖（1）所示．

①請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)度;
②當(dāng)DE⊥CF時(shí),試求出CF長(zhǎng)度．
（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形,DE與CF相交于點(diǎn)P．
探究：當(dāng)∠B與∠PC滿足什么關(guān)系時(shí),成立？并證明你的結(jié)論．

如圖,網(wǎng)格圖的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1．△OAB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．已知△與△OAB是以O(shè)為位似中心的位似圖形,且位似比為1︰3．

（1）請(qǐng)?jiān)诘谝幌笙迌?nèi)畫出△;
（2）試求出△的面積．

如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AC⊥BC．

（1）求證:△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm,AC=6cm,求梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度．

如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

（1）在圖上標(biāo)出位似中心D的位置,并寫出該位似中心D的坐標(biāo)是               ；
（2）求△ABC與△A′B′C′的面積比．

（1）如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是邊BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,聯(lián)結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,聯(lián)結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】
（2）如圖2,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是邊BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,其它條件不變,（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

【拓展延伸】
（3）如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點(diǎn)M是邊BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,聯(lián)結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC．聯(lián)結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．

理解與應(yīng)用
小明在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí),在北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材第17冊(cè)書,第37頁(yè)遇到這樣一道題：

如圖1,在△ABC中,P是邊AB上的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)CP.
要使△ACP∽△ABC,還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是____________,或_________.
請(qǐng)回答：
（1）小明補(bǔ)充的條件是____________________,或_________________.
（2）請(qǐng)你參考上面的圖形和結(jié)論,探究、解答下面的問題：
如圖2,在△ABC中,∠A=60°,AC²= AB²+AB.BC.求∠B的度數(shù)．

如圖,在中,,,于.求證：．

把兩個(gè)直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點(diǎn)O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm．
（1）圖1中線段AO的長(zhǎng)=          cm；DO=         cm

圖1
（2）如圖2,把△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C與AB相交于點(diǎn)F,若△BCE₁恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長(zhǎng)．
 
圖2

如圖，在△中，，平分∠，∥．求證：．