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心理學家通過實驗發(fā)現(xiàn)：初中學生聽講的注意力隨時間變化，講課開始時，學生注意力逐漸增強，中間有一段平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學生注意力指標數(shù)y隨時間表t（分鐘）變化的函數(shù)圖象如下．當0≤t≤10時，圖像是拋物線的一部分，當10≤t≤20時和20≤t≤40時，圖像是線段。
（1）當0≤t≤10時，求注意力指標數(shù)y與時間t的函數(shù)關系式；
（2）一道數(shù)學探究題需要講解24分鐘，問老師能否經(jīng)過恰當安排，使學生在探究這道題時，注意力指標數(shù)不低于45？請通過計算說明．

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線經(jīng)過A、C兩點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點坐標；
（2）如圖①，點P是拋物線上位于x軸下方的一點，點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱，過點P、Q分別向x軸作垂線，垂足為點D、E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時點P的坐標；
（3）如圖②，點M是拋物線上位于直線AC下方的一點，過點M作MF⊥AC于點F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請確定M點的坐標．

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，點A坐標為（0,6），點C坐標為（3,0），BC＝，一拋物線過點A、B、 C．
(1)填空：點B的坐標為   ；
(2)求該拋物線的解析式；
(3)作平行于x軸的直線與x軸上方的拋物線交于點E 、F，以EF為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的半徑．

已知拋物線，
（1）若求該拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若 ，證明拋物線與x軸有兩個交點；
（3）若且拋物線在區(qū)間上的最小值是-3，求b的值.

如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標為（6，6），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動點E，F(xiàn)同時分別從點A，點B出發(fā)，分別沿A→B，B→C運動，速度都是每秒1個單位長度，當點E到達終點B時，點E，F(xiàn)隨之停止運動，設運動時間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．

如圖1，□ABCD中,對角線BD⊥AB,AB=5，AD邊上的高為.等腰直角△EFG中，EF=4， ∠EGF=45°,且△EFG與□ABCD位于直線AD的同側(cè)，點F與點D重合，GF與AD在同一直線上．△EFG從點D出發(fā)以每秒1個單位的速度沿射線DA方向平移，當點G到點A時停止運動；同時點P也從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿折線AD→DC方向運動，到達點C時停止運動，設運動的時間為t.
（1）求的長度；
（2）在平移的過程中，記與相互重疊的面積為,請直接寫出面積與運動時間的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；
（3）如圖2，在運動的過程中，若線段與線段交于點，連接.是否存在這樣的時間，使得為等腰三角形？若存在，求出對應的值；若不存在，請說明理由.

平面直角坐標系中，拋物線交軸于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與軸交于點C，點A、C的坐標分別為（-3,0），（0,3），對稱軸直線交軸于點E,點D為頂點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一點，且,，求點P的坐標；
（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且∠MAC=∠ADE，求點M的坐標.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點E為BC邊上的動點（點E與點B、C不重合），設BE＝x．
操作：在射線BC上取一點F，使得EF＝BE，以點F為直角頂點、EF為邊作等腰直角三角形EFG，設△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求S與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）S是否存在最大值？若存在，請直接寫出最大值，若不存在，請說明理由．
 

在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（-2,0）和點B，與y軸交于點C（0,），線段AC上有一動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，線段AB上有另一個動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A移動，兩動點同時出發(fā)，設運動時間為t秒.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△AOC相似?如果存在，請求出對應的t的值;如果不存在，請說明理由.
（3）在y軸上有兩點M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請直接寫出相應的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

已知二次函數(shù)與x軸交于A（1,0）、B（3,0）兩點；二次函數(shù)的頂點為P.
（1）請直接寫出：b=_______，c=___________；
（2）當∠APB=90°，求實數(shù)k的值;
（3）若直線與拋物線L₂交于E，F(xiàn)兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不發(fā)生變化，請求出EF的長度；如果發(fā)生變化，請說明理由.