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劉衛(wèi)同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；圖②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．圖③是劉衛(wèi)同學所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸________．

(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學經過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？

問題②：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，

求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個問題的解答過程．

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB邊上的一個動點(異于A、B兩點)，過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N．設AP＝x．

(1)在△ABC中，AB＝________；

(2)當x＝________時，矩形PMCN的周長是14；

(3)是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等？請說出你的判斷，并加以說明．

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)頂點為C(1，1)且過原點O.過拋物線上一點P(x，y)向直線y＝作垂線，垂足為M，連FM(如圖)．

(1)求字母a，b，c的值；

(2)在直線x＝1上有一點F(1，)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時△PFM為正三角形；

(3)對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由．

如圖，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD＝2，AB＝3；拋物線y＝－x²＋bx＋c經過坐標原點O和x軸上另一點E(4，0)

(1)當x取何值時，該拋物線的最大值是多少？

(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點為N(如圖所示)．

①當t＝時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．

(Ⅰ)試比較EO、EC的大小，并說明理由；

(Ⅱ)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點，且QF＝，拋物線y＝mx²＋bx＋c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；

(Ⅳ)在(Ⅲ)的條件下，若拋物線y＝mx²＋bx＋c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，求直線KP與y軸的交點T的坐標？若不存在，請說明理由．

如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點(不與點B重合)，連結AD，作BE⊥AD，垂足為E，連結CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．

(1)求證：BF＝FD；

(2)點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形，如不能，請說明理由，如能，求出此時∠A的度數(shù)．

已知二次函數(shù)y＝x²＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1，0)、B兩點，與y軸交于點C(0，－3)．

(1)填空：b＝________，c＝________；

(2)如圖，點Q從O出發(fā)沿x軸正方向以每秒4個單位運動，點P從B出發(fā)沿線段BC方向以每秒5個單位運動，兩點同時出發(fā)，點P到達點C時，兩點停止運動，設運動時間為t s，過點P作PH⊥OB，垂足為H．

①求線段QH的長(用含t的式子表示)，并寫出t的取值范圍；

②當點P、Q運動時，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

已知拋物線y＝x²＋4x＋m(m為常數(shù))經過點(0，4)．

(1)求m的值；

(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸(設為直線l₂)與平移前的拋物線的對稱軸(設為l₁)關于y軸對稱；它所對應的函數(shù)的最小值為－8．

①試求平移后的拋物線所對應的函數(shù)關系式；

②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

如圖，已知二次函數(shù)y＝ax²＋2x＋3的圖像與x軸交于點A、點B(點B在X軸的正半軸上)，與y軸交于點C，其頂點為D，直線DC的函數(shù)關系式為y＝kx＋3，又tan∠OBC＝1，

(1)求a、k的值；

(2)探究：在該二次函數(shù)的圖像上是否存在點P(點P與點B、C不重合)，使得ΔPBC是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請你說明理由．

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12 cm、6 cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y＝ax²＋bx＋c經過點A、B，且18a＋c＝0．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如果點P由點A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點C移動．

①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標，如果不存在，請說明理由．