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已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6 cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．

(1)當(dāng)＝1時(shí)，CF＝________cm；

(2)當(dāng)＝2時(shí)，求sin∠DAB′的值；

(3)當(dāng)＝x時(shí)(點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合)，求△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式．

定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．

(1)如圖1，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段________．

(2)在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上)，請(qǐng)作出這個(gè)圓，并說(shuō)明你的理由．友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．

(3)如圖2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．若此時(shí)AB＝3，BD＝，求BC的長(zhǎng)．

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA＝12cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB＝12 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4 cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2 cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)．如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t(0＜t＜6)s．

(1)求∠OAB的度數(shù)．

(2)以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O′相切？

(3)是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，10)，點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，在線段OB上做往返運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P往返一次需10 s，點(diǎn)Q往返一次需6 s．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x( s)，動(dòng)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離是y．

(1)當(dāng)0≤x≤10時(shí)，在圖①中，分別畫(huà)出點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)關(guān)于x的函數(shù)圖象，并回答：

①點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，1個(gè)往返之間與點(diǎn)Q相遇幾次(不包括O點(diǎn))？

②點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，幾秒后與點(diǎn)Q第一次相遇？

(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，□OCDE的頂點(diǎn)C(6，0)，D、E、B在同一直線上．分別過(guò)點(diǎn)P、Q作PM、QN垂直于y軸，P、Q為垂足．設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩條直線PM，QN與□OCDE圍成圖形(陰影部分)的面積是S，試求當(dāng)x(0≤x≤5)為多少秒時(shí)，S有最大值．最大值是多少？

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A(x₁，0)、B(x₂，0)兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．已知x₁、x₂恰是方程x²－2x－3＝0的兩根，且sin∠OBC＝．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)在第一象限、對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

在課外小組活動(dòng)時(shí)，小偉拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小熊、小強(qiáng)交流．

原問(wèn)題：如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系．

小偉同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)

題得解．

小熊同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類(lèi)似的題目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．

小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況．

請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明．

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為30 cm，∠A＝120°．點(diǎn)P沿折線A－B－C－D運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s；點(diǎn)Q沿折線A－D－C－B運(yùn)動(dòng)，速度為1.5 cm/s．當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．．若點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

(1)設(shè)△APQ面積為scm²，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

(2)當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

(1)6位新同學(xué)參加夏令營(yíng)，大家彼此握手，互相介紹自己，這6位同學(xué)共握手多少次？

小莉是這樣思考的：每一位同學(xué)要與其他5位同學(xué)握手5次，6位同學(xué)握手5×6＝30次，但每?jī)晌煌瑢W(xué)握手2次，因此這6位同學(xué)共握手＝15次．

依此類(lèi)推，12位同學(xué)彼此握手，共握手________次．

(2)我們經(jīng)常會(huì)遇到與上面類(lèi)似的問(wèn)題，如：

2條直線相交，最多只有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；……；求20條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

(3)在上述問(wèn)題中，分別把人、線看成是研究對(duì)象，兩人握手、兩線相交是研究對(duì)象間的一種關(guān)系，要求的握手總次數(shù)、最多交點(diǎn)數(shù)就是求所有對(duì)象間的不同關(guān)系總數(shù)．它們都是滿足一種相同的模型．請(qǐng)結(jié)合你學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，編制一個(gè)符合上述模型的問(wèn)題．

(4)請(qǐng)運(yùn)用解決上述問(wèn)題的思想方法，探究n邊形共有多少條對(duì)角線？寫(xiě)出你的探究過(guò)程及結(jié)果．

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(0，2)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求平移后所得圖像的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)(2)中平移后，所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為B₁，頂點(diǎn)為D₁，若點(diǎn)N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB₁的面積是△NDD₁面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分線AD與⊙0交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，G是CD的中點(diǎn)，連結(jié)OG．

(1)判斷OG與CD的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；

(2)求證：AE＝BF；

(3)若OG·DE＝3(2－)，求⊙O的面積．