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如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的長(zhǎng)．

如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC，AD，BD的長(zhǎng)．

要對(duì)一塊長(zhǎng)60m、寬40m的矩形荒地ABCD進(jìn)行綠化和硬化．

（1）設(shè)計(jì)方案如圖①所示，矩形P、Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的，求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．
（2）某同學(xué)有如下設(shè)想：設(shè)計(jì)綠化區(qū)域?yàn)橄嗤馇械膬傻葓A，圓心分別為O₁和O₂，且O₁到AB，BC，AD的距離與O₂到CD，BC，AD的距離都相等，其余為硬化地面，如圖②所示，這個(gè)設(shè)想是否成立？若成立，求出圓的半徑；若不成立，說(shuō)明理由．

1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出了雕塑問(wèn)題：假定有一個(gè)雕塑高AB=3米，立在一個(gè)底座上，底座的高BC=2.2米，一個(gè)人注視著這個(gè)雕塑并朝它走去，這個(gè)人的水平視線離地1.7米，問(wèn)此人應(yīng)站在離雕塑底座多遠(yuǎn)處，才能使看雕塑的效果最好，所謂看雕塑的效果最好是指看雕塑的視角最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)，如圖：過(guò)A、B兩點(diǎn)，作一圓與EF相切于點(diǎn)M，你能說(shuō)明點(diǎn)M為所求的點(diǎn)嗎？并求出此時(shí)這個(gè)人離雕塑底座的距離？

如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是的中點(diǎn)，求證四邊形OACB是菱形.

如圖，AB是⊙的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作⊙的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求AB的長(zhǎng)．

已知: 如圖， AB是⊙O的直徑，⊙Ｏ過(guò)AC的中點(diǎn)D， DE切⊙Ｏ于點(diǎn)D， 交BC于點(diǎn)E．
 
（１）求證： DE⊥BC；
（２）如果CD＝4，CE＝3，求⊙Ｏ的半徑．

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CO并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AD.

（1）求弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）當(dāng)∠D=20°時(shí)，求∠BOD的度數(shù).

已知直角中，∠C=90°.

（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中畫出直角的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若AC=5，BC=12，請(qǐng)求出該直角的外接圓面積.

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F。
（1）      求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=1，求cosA的值.