Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D為BC上一點且與B、C不重合．∠ADE=45°，交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數表達式；
（3）當△ADE是直角三角形時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質及三角形內角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質可求出y與x的函數關系式；
（3）由題意得到∠DAE＜∠BAC＜90°，由∠ADE=45°，于是得到當△ADE是直角三角形時，只有∠AED=90°，推出△AED是等腰直角三角形，于是得到結論．

解答 解：（1）△ABD與△DCE相似，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=∠ADE=45°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，DC=2$\sqrt{2}$-x，EC=2-y
∴$\frac{x}{2-y}=\frac{2}{2\sqrt{2}-x}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+2；

（3）∵∠DAE＜∠BAC，
∴∠DAE＜90°，
∵∠ADE=45°，
∴當△ADE是直角三角形時，
只有∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠DAE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AC=CD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=1．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，求二次函數的解析式，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．