Question

16．一塊三角形材料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用這塊材料剪出一個矩形CDEF，其中，點D、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）．設AE=x，矩形CDEF的面積為S．
（1）求出S的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍
（2）當x為何值時，S有最大值，并求出S的最大值
（3）當x=18-6$\sqrt{3}$時，矩形CDEF為正方形．

Answer 1

分析 （1）先根據點E為AB上一點得出自變量x的取值范圍，根據30°的直角三角形的性質求出EF和AF的長，在
在Rt△ACB中，根據三角函數求出AC的長，計算FC的長，利用矩形的面積公式可求得S的函數關系式；
（2）把二次函數的關系式配方可以得結論；
（3）根據有一組鄰邊相等的矩形為正方形，得EF=FC，列式可求得x的值．

解答 解：（1）∵AB=12，AE=x，點E與點A、點B均不重合，
∴0＜x＜12，
∵四邊形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠A=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$x，
AF=cos30°•AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△ACB中，AB=12，
∴cos30°=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴FC=AC-AF=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S=FC•EF=$\frac{1}{2}$x（6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$+3$\sqrt{3}$x（0＜x＜12）；
（2）$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x（12-x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（x-6）^2}+9\sqrt{3}$，
當x=6時，S有最大值為$9\sqrt{3}$；
（3）若矩形CDEF為正方形，
則EF=FC，
即$\frac{1}{2}$x=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
x=18-6$\sqrt{3}$，
∴當x=18-6$\sqrt{3}$時，矩形CDEF為正方形．
故答案為：18-6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質、特殊的三角函數、30°的直角三角形的性質、二次函數的最值、正方形的判定等知識，難度適中，明確矩形的面積為長×寬，并熟練掌握特殊的三角函數值及定義．