Question

16．如圖，直線y₁=x+b與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于點A（1，4）和點B，經(jīng)過點A的另一條直線與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于點C．則：
①直線AB的解析式為y₁=x+3；
②B（-1，-4）；
③當(dāng)x＞1時，y₂＜y₁；
④當(dāng)AC的解析式為y=4x時，△ABC是直角三角形．
其中正確的是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號都寫在橫線上）

Answer 1

分析 將點A（1，4）分別代入y₁=x+b與y₂=$\frac{k}{x}$，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式與雙曲線的解析式，即可判斷①；
把y₁=x+3代入y₂=$\frac{4}{x}$，求出x的值，再計算出y的值，求得B點坐標(biāo)，即可判斷②；
觀察圖象，當(dāng)x＞1時，雙曲線落在直線的下方，即可判斷③；
將y=4x代入y₂=$\frac{4}{x}$，求出x的值，再計算出y的值，求得C點坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式，計算得出AB²+BC²=AC²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，即可判斷④．

解答 解：∵直線y₁=x+b與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于點A（1，4），
∴4=1+b，4=$\frac{k}{1}$，
∴b=3，k=4，
∴直線AB的解析式為y₁=x+3，雙曲線的解析式為y₂=$\frac{4}{x}$，
故①正確；
把y₁=x+3代入y₂=$\frac{4}{x}$，得x+3=$\frac{4}{x}$，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x=-4或1，
當(dāng)x=-4時，y₁=-4+3=-1，
∴B點坐標(biāo)為（-4，-1），
故②錯誤；
由圖象可知，y₂＜y₁時，-4＜x＜0或x＞1，
∴當(dāng)x＞1時，y₂＜y₁，
故③正確；
當(dāng)AC的解析式為y=4x時，把y=4x代入y₂=$\frac{4}{x}$，得4x=$\frac{4}{x}$，
整理得，4x²=4，
解得x=±1，
當(dāng)x=-1時，y=-4，
∴C（-1，-4）．
∵A（1，4），B（-4，-1），C（-1，-4），
∴AB²=（-4-1）²+（-1-4）²=50，
BC²=（-1+4）²+（-4+1）²=18，
AC²=（-1-1）²+（-4-4）²=68，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．
則正確的結(jié)論是①③④．
故答案為①③④．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，方程組的解即為交點坐標(biāo)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的逆定理以及數(shù)形結(jié)合的思想．