Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E，∠B=30°，求sin∠AOC=

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先求出∠GAC=60°，分別表示出BC、CG的長度，進而求出BG、OG的長度，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AD；過點C作CG⊥BA，交BA的延長線于點G；
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，而BD=CD，
∴AB=AC，∠ACB=∠B=30°，
∴∠GAC=30°+30°=60°；
設(shè)⊙O的半徑為1，則AB=2；
∴AD=1，BD=CD=

3

，
∴BC=2

3

；在直角△BCG中，
∵∠B=30°，
∴CG=

1

2

BC=

3

，BG=

3

CG=3，
∴OG=3-1=2；
由勾股定理得：OC²=4+3=7，
∴OC=

7

，
∴sin∠AOC=

3

7

=

21

7

，
故該題答案為

21

7

．

點評：該命題以圓為載體，以切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、直角三角形的邊角關(guān)系等幾何知識點的考查為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．