Question

如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的長．

Answer 1

（1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（對頂角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．


（3）解：連接AC、BD，BD與AC交于點O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO²=2²，
OA=，
即OG=OA+AG=+=2，
∴EB=GD=．

分析：（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE則在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）設BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結果．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長．