Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C連接AC，BC．
（1）求∠ACO的正弦值．
（2）如圖1，D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，記點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m，作DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DH∥y軸交于BC于點(diǎn)H，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段DE的長(zhǎng)，并求出當(dāng)CH：BH=2：1時(shí)線段DE的長(zhǎng)．
（3）如圖2，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、B重合），作PM∥BC交直線AC于點(diǎn)M，連接CP，是否存在點(diǎn)P使S_△CPM=2？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線解析式求出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，求出線段OA、AC長(zhǎng)度，即可求出∠ACO的正弦值；
（2）首先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，寫出點(diǎn)H坐標(biāo)，利用相似三角形比例關(guān)系可求出線段DE的長(zhǎng)，根據(jù)CH：BH=2：1，求出線段DE的長(zhǎng)；
（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線PM解析式，表示出點(diǎn)M、及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解（1）令x=0，y=4，
∴C（0，4），OC=4，
令y=0，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OA=1，
∴AC=$\sqrt{16+1}$=$\sqrt{17}$，
sin∠ACO=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

2）如圖1，

∵DE∥AC，
∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，
∵DH∥y軸，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠5，
∴OA：OC=EM：DM，
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥DH，垂足為M，
設(shè)點(diǎn)D（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4），
直線BC：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴H（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∴DH=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
設(shè)EM=x，則DM=4x，
∠MEH=∠B，
∴HM=$\frac{4}{3}$x，DH=$\frac{4}{3}$x+4x=$\frac{16}{3}$x，
∴x=$\frac{3DH}{16}$，
∴DE=$\sqrt{17}$x=$\frac{3\sqrt{17}DH}{16}$=$\frac{3\sqrt{17}}{16}$（-$\frac{4}{3}$m²+4m）=-$\frac{\sqrt{17}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{17}}{4}$m，
當(dāng)CH：BH=2：1時(shí)，
延長(zhǎng)DH至點(diǎn)K，則OK：KB=2：1，
OK=2，
∴m=2．
∴DE=-$\sqrt{17}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

（3）P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．
直線BC解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
直線AC解析式為：y=4x+4，
∵作PM∥BC交直線AC于點(diǎn)M，
∴設(shè)PM直線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+b，
∴P（$\frac{3b}{4}$，0）
聯(lián)立直線AC，求得M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖：

∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CN×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{4}$）=2
∴$\frac{1}{2}$×（4-b）×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{16}$）=2
解得：b=$\frac{4}{3}$，
∴P（1，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，
連接CP，是否存在點(diǎn)P使S_△CPM=2
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
做CQ⊥y軸，Q（$\frac{3b-12}{4}$，4）
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CQ×$\frac{3b-12}{4}$=2
解得：b=$\frac{8\sqrt{2}+4}{3}$，
∴P（2$\sqrt{2}$+1，0）．
當(dāng)點(diǎn)P在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×PA×（4-$\frac{3b+4}{4}$）=2
解得：b=$\frac{4-8\sqrt{2}}{3}$，
∴P（1-2$\sqrt{2}$，0）．
綜上所述：P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)包括一次函數(shù)二次函數(shù)解析式求解、相似三角形、三角形面積求解等知識(shí)點(diǎn)，題目整體較難，適合學(xué)生進(jìn)行中考二次函數(shù)壓軸訓(xùn)練．