Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（3，0）．探究：拋物線y=x²-2mx+m²-4（m為常數(shù)）交x軸于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)；
（1）當(dāng)m=2時，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及線段MN的長；
（2）對于拋物線y=x²-2mx+m²-4（m為常數(shù)）．
①線段MN的長度是否發(fā)生改變，請說明理由；
②若該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍；
拓展：對于拋物線y=a²（x-b）²-4（a，b為常數(shù)，且滿足a=$\frac{1}$）．
（1）請直接寫出該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 探究：（1）當(dāng)m=2時，得到y(tǒng)=x²-4x=（x-2）²-4；于是得到結(jié)論；
（2）解方程x²-2mx+m²-4=0，得到x₁=m+2，x₂=m-2，．于是得到結(jié)論；②解方程x²-2mx+m²-4=0，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為M（m-2，0），N（m+2，0）解不等式即可得到結(jié)論；
拓展：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得到結(jié)論；
（2）解方程a²（x-b）²-4=0，得到x₁=b-$\frac{2}{a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{3}{a}$，當(dāng)該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)時，與x軸的交點(diǎn)分別介于A，B之間，于是得到結(jié)論．

解答 解：探究：（1）當(dāng)m=2時，y=x²-4x=（x-2）²-4；
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4）；
當(dāng)y=0時，x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴線段MN的長為4；
（2）①線段MN的長度不發(fā)生改變，
理由：當(dāng)y=0時，x²-2mx+m²-4=0，
解得：x₁=m+2，x₂=m-2，．
∴線段MN的長為4，
∴線段MN的長度不發(fā)生改變；
②令y=x²-2mx+m²-4=0，
解得：x₁=m-2，x₂=m+2，
即交點(diǎn)坐標(biāo)為M（m-2，0），N（m+2，0）
當(dāng)該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)時，M，N分別介于A，B之間，
即1≤m-2≤3，1≤m+2≤3，
即∵m的取值范圍是：-1≤m≤1，3≤m≤5；
拓展：
（1）該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），…（10分）
（2）令y=a²（x-b）²-4=0，
解得：x₁=b-$\frac{2}{a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{3}{a}$，
當(dāng)該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)時，與x軸的交點(diǎn)分別介于A，B之間，
1≤-$\frac{1}{a}$≤3，1≤$\frac{3}{a}$≤3，
a的取值范圍是：-1≤a≤-$\frac{1}{3}$，1≤a≤3．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確的理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．