Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時點P的坐標(biāo)；
（3）在對稱軸l上是否存在一點Q，使∠DQO=∠DCO？若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件可求得A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、C（-3，0），代入解析式可求得拋物線的解析式；
（2）若△CEF與△COD相似，則有∠CFE=90°或∠CEF=90°，當(dāng)∠CFE=90°時，連接PE并延長交y軸于點H，根據(jù)題意可證明△ODC≌△OEH，則OH=OC，可求得Q的坐標(biāo)，結(jié)合E點坐標(biāo)，可求出直線PH的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求得P點坐標(biāo)；當(dāng)∠CEF=90°時，可知P點為拋物線的頂點；
（3）以CD為直徑作圓，則該圓與對稱軸l的交點即為所求的Q點，由勾股定理可求得CD的長，設(shè)CD中點為G，過G作GM⊥l于點M，作GN⊥x軸于點N，則可求出GQ的長，進(jìn)一步可得出Q點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵tan∠BAO=

BO

AO

，
∴

BO

1

=3，解得BO=3，
又由旋轉(zhuǎn)可得OC=OB=3，
∴A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、C（-3，0），
代入二次函數(shù)解析式可得

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

．
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）∵∠DOC=90°，
∴當(dāng)△CEF與△COD相似，有∠CFE=90°或∠CEF=90°，
當(dāng)∠CFE=90°時，連接PE并延長交y軸于點H，如圖1，

由題意可知l方程為x=-1，∴OD=OE，
∵∠DCO+∠CDO=∠CDO+∠EHO=90°，
∴∠DCO=∠EHO，
在△ODC和△OEH中，

∠DCO=∠EHO ∠DOC=∠EOH DO=EO

，
∴△ODC≌△OEH（AAS），
∴OH=OC=3，
∴H坐標(biāo)為（0，-3），且E（-1，0），
設(shè)直線PH解析式為y=kx-3，把E點坐標(biāo)代入可得-k-3=0，解得k=-3，
∴直線PH解析式為y=-3x-3，
聯(lián)立拋物線線解析式可得

y=-x2-2x+3 y=-3x-3

，解得

x=3 y=-12

或

x=-2 y=3

，
∵P點在第二象限，
∴P點坐標(biāo)為（-2，3）；
當(dāng)∠CEF=90°時，則PE∥y軸，故P點坐標(biāo)為拋物線的頂點，可求得P點坐標(biāo)為（-1，4）；
綜上可知當(dāng)△CEF與△COD相似時點P的坐標(biāo)為（-2，3）或（-1，4）；
（3）如圖2，以CD為直徑作圓，設(shè)其圓心為G，交對稱于點Q、Q′，過G分別作GM⊥l，GN⊥x軸，垂足分別為M、N，連接GQ，

由圓周角定理可知∠DQO=∠DQ′O=DCO，
在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=

10

，則GQ=

1

2

CD=

10

2

，
又∵G為CD中點，則N為CO中點，可得ON=

1

2

OC=

3

2

，且OE=1，GN=

1

2

OD=

1

2

，
∴GM=NE=ON-OE=

3

2

-1=

1

2

，ME=GN=

1

2

，
在Rt△GMQ中，由勾股定理可得QM=

GQ2-GM2

=

( 10 2 )2-( 1 2 )2

=

3

2

，
由垂徑定理可得Q′M=QM=

3

2

，
∴QE=QM+ME=

3

2

+

1

2

=2，Q′E=Q′M-ME=

3

2

-

1

2

=1，且OE=1，
∴在對稱軸l上是存在一點Q，使∠DQO=∠DCO，其坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，1）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)解析式和相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．在（1）中注意待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法，關(guān)鍵是求得點的坐標(biāo)；在（2）中利用相似求得直線PE于y軸的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用；在（3）中利用圓周角定理確定出Q點的位置是解題的關(guān)鍵，注意垂徑定理的應(yīng)用．本題知識點考查較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．