Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x＝上．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)BD，已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(4)在(2)、(3)的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N，連結(jié)PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)B(0，4)，∴，　1分 　　∵頂點(diǎn)在直線上，∴，， 　　∴所求函數(shù)關(guān)系式為：　2分 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴， 　　∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)．　3分 　　當(dāng)時(shí)，，　4分 　　當(dāng)時(shí)，， 　　∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．　5分 　　(3)設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，　6分 　　設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為， 　　則，解得：， 　　∴，　7分 　　當(dāng)時(shí)，，∴P(，)，　8分 　　(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD， 　　∴，，，　9分 　　設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，則， 　　∵，， 　　∴(　10分 　　由， 　　∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，　11分 　　此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)．　12分