Question

9．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，線段AC的垂直平分線交AC于D點，交BC于E點，過點A作BC的平行線交直線ED于F點，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=10，∠ACB=30°，求菱形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明AF=FC=CE=EA，即可判斷四邊形AECF是菱形；
（2）求出菱形的對角線的長，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可；

解答 （1）證明：∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EA=EC，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AE=CE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∵EF⊥AC，
∴∠ADF=∠ADE=90°．
∵∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°．
∴∠4=∠5．
∴AF=AE，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四邊形AECF是菱形．

（2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°，
∴AB∥FE，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∵AB=10，
∴FE=AB=10，
∵∠ACB=30°，
∴AC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=10$\sqrt{3}$，．
∴${S_{菱形AECF}}=\frac{1}{2}AC•FE=50\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、相等的垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定，屬于基礎題，中考�？碱}型．