Question

如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．
（1）若四邊形AEDF的周長(zhǎng)為24，AB=15，求AC的長(zhǎng)；
（2）求證：EF垂直平分AD．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn),線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，然后求出AE+DE=AB，再求解即可；
（2）根據(jù)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)證明．

解答：（1）解：∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，
∴AE+DE=AB=15，AF+DF=AC，
∵四邊形AEDF的周長(zhǎng)為24，AB=15，
∴AC=24-15=9；

（2）證明：∵DE=AE，DF=AF，
∴點(diǎn)E、F在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上，
∴EF垂直平分AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．