Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為3．過A（-7，9），B（0，9）的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于D，E （點D在點E右邊）兩點，連結(jié)AD．
（1）若點D的坐標為D（3，0）．
①請直接寫出此時直線AD與⊙O的位置關(guān)系；
②求此時拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若直線AD和⊙O相切，求拋物線二次項系數(shù)a的值；
（3）當(dāng)直線AD和⊙O相交時，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①設(shè)過點A和D的直線為y=kx+b，把A和D的坐標代入求出直線的解析式，進而可得到直線和x軸的交點坐標，再求出圓心O到直線AD的距離即可判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系；②由B的坐標為（0，9），可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+9（a≠0），把A，D的坐標代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式；
（2）過A有兩條圓的切線，切點為G，連OG，過A作AH⊥x軸，易證△OGD∽△AHD，OG：OD=AH：AD，因為OG=3，AH=9，OD=|m|，所以可得AD=3|m|，在Rt△AHD中，9²+（m+7）²=（3m）²，解方程可求出m的值，進而可求出點D的坐標，由（1）中的思路即可求出a的值；
（3）由（2）可知當(dāng)直線AD和⊙O相切時，可求出a的值，進而可得到當(dāng)直線AD和⊙O相交時，出a的取值范圍．

解答 解：（1）①設(shè)過點A和D的直線為y=kx+b，把A和D的坐標代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9=-7k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{10}}\\{b=\frac{27}{10}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{27}{10}$，
∴直線和y軸交點坐標為（0，$\frac{27}{10}$），
∴圓心O到直線AD的距離d=$\frac{3×\frac{27}{10}}{\sqrt{{3}^{2}+\frac{729}{100}}}$≈2.1，
∵圓的半徑r=3，
∴d＜r，
∴此時直線AD與⊙O的位置關(guān)系為相交；
②因為拋物線過A（-7，9），B（0，9）D（3，0）．可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+9（a≠0），
得：$\left\{\begin{array}{l}9={（-7）^2}a+（-7）a+9\\ 0=9a+3b+9\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{10}}\\{b=-\frac{21}{10}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
即拋物線的解析式為：y=-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{21}{10}$x+9；
（2）如圖所示，過A有兩條圓的切線，切點為G，連OG，過A作AH⊥x軸．
∵∠OGD=∠AHD=90°，∠ADH=∠ADH，
∴△OGD∽△AHD，
∴OG：OD=AH：AD，
∵OG=3，AH=9，OD=|m|，
∴AD=3|m|，
在Rt△AHD中，9²+（m+7）²=（3m）²，
得：4m²-7m-65=0，
∴$m=5或m=-\frac{13}{4}$，
∴OD=5或$\frac{13}{4}$，
∴點D的坐標為（5，0）或（-$\frac{13}{4}$，0），
設(shè)拋物線解析式為=ax²+bx+9，把A和D的坐標分別代入可得$a=-\frac{3}{20}或\frac{48}{65}$；
（3）由（2）可知當(dāng)直線AD和⊙O相切時，a的值為-$\frac{3}{20}$或$\frac{48}{65}$，
所以當(dāng)直線AD和⊙O相交時，a的取值范圍為：$a＜-\frac{3}{20}或a＞\frac{48}{65}$．

點評 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式；直線和圓有關(guān)的位置關(guān)系；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理的運用以及解一元二次方程，題目的綜合性較強，難度較大，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高．