Question

如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，與軸交于點C，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D.

（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；

（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止. 當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

 

 

Answer 1

（1）；（2）或 ；（3）F.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點在曲線上點的坐標滿足方程的關(guān)系，依次求出的值得到直線的解析式、點D的縱坐標、的值得到拋物線的函數(shù)表達式.

∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=

（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.

（3）過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求，理由是，由于點M在線段AF上以每秒1個單位的速度運動，在線段FD上以每秒2個單位的速度運動，從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道，又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點F即為所求，從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可.

試題解析：（1）∵拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，

∴A（-2，0），B（4，0）.

∵點B在直線上，∴，即.

∴直線的解析式為.

∵點D在直線上，且橫坐標為-5，∴縱坐標為.

∵點D在拋物線上，∴，解得.

∴拋物線的函數(shù)表達式為.

（2）易得，點C的坐標為，則.

設(shè)點P的坐標為，

分兩種情況：

①若△PAB∽△ABC，則∠PAB=∠ABC，.

∴由∠PAB=∠ABC 得，即.

∴，解得.

此時點P的坐標為，，

∴由得，解得.

②若△PAB∽△BAC，則∠PAB=∠BAC，.

∴由∠PAB=∠BAC 得，即.

∴，解得.

此時點P的坐標為，，

∴由得，解得.

（3）如圖，過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求.

∵直線BD的解析式為，∴∠FBA=∠FGD=30°.

∵AB=6，∴AF=.

∴點F的坐標為.

考點：1.單動點問題；2.二次函數(shù)和一次函數(shù)交點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定；6.垂直線段最短的性質(zhì)；7.分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用.