Question

1．如圖甲所示，在邊長為4cm的菱形ABCD中，∠BAD=60°，動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度，按照A→B→C的順序勻速運動到C點停止，設(shè)運動時間為t秒，以點P為圓心，半徑為r的圓隨之運動，且半徑r（cm）與時間t（s）的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示，當(dāng)⊙P與對角線AC相切時，則運動時間t的值為$\frac{1}{2}$秒或$\frac{10}{7}$秒．

Answer 1

分析 先根據(jù)圖乙得：0-1秒時，⊙P半徑r不變都是1，1-2秒時，求出直線GH的關(guān)系式為：r=$\frac{1}{3}$t+$\frac{2}{3}$，根據(jù)菱形一個內(nèi)角為60°得∠BAC=30°；
當(dāng)⊙P與對角線AC相切時，分兩種情況進(jìn)行討論，分別在AB和BC上與AC相切，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)列式求出對應(yīng)的t值．

解答 解：如圖乙，設(shè)直線GH的解析式為：r=kt+b，
把G（1，1）、H（2，$\frac{4}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{2k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線GH的解析式為：r=$\frac{1}{3}$t+$\frac{2}{3}$（1≤t≤2），
當(dāng)⊙P與對角線AC相切時，分兩種情況：
①當(dāng)點P在AB上與AC相切時，如圖1，
設(shè)切點為E，連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵四邊形ABCD為菱形，
∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AP1=2r=2，
∴t=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)點P在BC上與AC相切時，如圖2，
設(shè)切點為F，連接P₂E，則P₂F⊥AC，P₂F=r，
則P₂C=2r，
∵P₂C=AB+BC-4t=8-4t，
則$\left\{\begin{array}{l}{2r=8-4t}\\{r=\frac{1}{3}t+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：t=$\frac{10}{7}$，
綜上所述：當(dāng)⊙P與對角線AC相切時，則運動時間t的值為$\frac{1}{2}$秒或$\frac{10}{7}$秒．

點評 本題是函數(shù)和菱形、圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)：①菱形的每一條對角線平分一組對角，②菱形的四邊相等；圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑；以及一次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，本題是一個分段函數(shù)，從圖象中讀出⊙P的半徑，并與方程相結(jié)合，采用了分類討論的思想，使問題得以解決．