Question

2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線(xiàn)，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取FG=BD，連接BG、DF．
（1）求證：BD=DF；
（2）求證：四邊形BDFG為菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四邊形BDFG的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半，可得BD=FD；
（2）由鄰邊相等可判斷四邊形BGFD是菱形；
（3）設(shè)GF=x，則AF=13-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，BD為AC的中線(xiàn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=DF；
（2）證明：∵BD=DF，
∴四邊形BGFD是菱形，
（3）解：設(shè)GF=x，則AF=13-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即（13-x）²+6²=（2x）²，
解得：x=5，
∴四邊形BDFG的周長(zhǎng)=4GF=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)；解答本題的關(guān)鍵是證明四邊形BGFD是菱形．