Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=BC，D為⊙O的弧AB上一點，延長DA至點E，使CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，試說明AD、BD與CD之間是否存在某種確定的等量關系？請畫圖（非尺規(guī)作圖），寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

（1）證明：根據(jù)圓周角定理，∠ABC=∠ADC，
∵AC=BC，CE=CD，
∴∠BCA=180°-2∠ABC，∠DCE=180°-2∠ADC，
∴∠BCA=∠DCE，
∴∠BAC-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：AD+BD=CD．
理由如下：∵AC⊥BC，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADC=45°，
∵CE=CD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∵DE=AD+AE=AD+BD，
∴AD+BD=CD．
分析：（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠ABC=∠ADC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCA=∠DCE，然后求出∠BCD=∠ACE，再利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形的證明即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=45°，然后求出∠ADC=45°，從而求出△CDE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出相等的角∠BCD=∠ACE是解題的關鍵．