Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax（x-2）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱(chēng)軸交拋物線(xiàn)y=（4-a）x²于點(diǎn)B，連接OB，AB，OM，AM，四邊形OMAB面積為s．
（1）試說(shuō)明a=2時(shí)，四邊形OMAB是菱形．
（2）當(dāng)a的值分別取1，2，3時(shí)，分別計(jì)算s的值，將其填入如表

a	1	2	3
s

（3）將拋物線(xiàn)y=ax（x-2）（0＜a＜4）改為拋物線(xiàn)y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他條件不變，當(dāng)四邊形OMAB為正方形時(shí)，a=2，m=$\frac{1}{2}$．
（4）將拋物線(xiàn)y=ax（x-2）（0＜a＜4）改為拋物線(xiàn)y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他條件不變，s=4m³（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)y=ax（x-2）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得對(duì)稱(chēng)軸，則可求得點(diǎn)M與點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而證得結(jié)論；
（2）分別求得當(dāng)a的值分別取1，2，3時(shí)，B與M的坐標(biāo)，即可求得答案；
（3）由拋物線(xiàn)y=ax（x-2m）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，首先可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得對(duì)稱(chēng)軸，則可求得點(diǎn)M與點(diǎn)B的坐標(biāo)，由四邊形OMAB為正方形，可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}=（4-a）{m}^{2}}\\{2m=2a{m}^{2}}\end{array}\right.$，繼而求得答案；
（4）結(jié)合（2）與（3），即可求得答案．

解答 解：（1）設(shè)OA與BM交于點(diǎn)C，
∵a=2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=2x（x-2）（0＜a＜4），
∵其與x軸交于O，A兩點(diǎn)，
∴O（0，0），A（2，0），
∴對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x=1，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，-2）
∵a=2，
∴y=2x²，
∵對(duì)稱(chēng)軸交拋物線(xiàn)y=（4-a）x²于點(diǎn)B，
∴y=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，2）；
∴OC=AC=1，BC=MC=1，
∴四邊形OMAB是平行四邊形，
∵OA⊥BM，
∴四邊形OMAB是菱形；

（2）當(dāng)a=1時(shí)，M的坐標(biāo)為：（1，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，3），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4；
當(dāng)a=2時(shí)，M的坐標(biāo)為：（1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，2），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×2=4；
當(dāng)a=3時(shí)，M的坐標(biāo)為：（1，-3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，1），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3=4；
故答案為：4，4，4；

（3）∵拋物線(xiàn)y=ax（x-2m）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（0，2m），
∴對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x=m，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m，-am²），
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（m，（4-a）m²），
若四邊形OMAB為正方形，則$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}=（4-a）{m}^{2}}\\{2m=2a{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
故答案為：2，$\frac{1}{2}$；

（4）由（3）得：S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2m×（4-a）m²+$\frac{1}{2}$×2m×am²=4m³．
故答案為：4m³．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定、正方形的性質(zhì)等知識(shí)．注意求得A的坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸是解此題的關(guān)鍵．