Question

14．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=3，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推，則a₂₀₀₉=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2009除以3，根據(jù)余數(shù)的情況確定出與a₂₀₀₉相同的數(shù)即可得解．

解答 解：∵a₁=3，
∴a₂=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，
a₄=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，
…
數(shù)字3、-$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$依次不斷循環(huán)出現(xiàn)，
2009÷3=669…2．
∴a₂₀₀₉與a₂相同，為-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)字變化規(guī)律，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．