Question

如圖，已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓，OP∥AC，且與BC的垂線(xiàn)交于點(diǎn)P，OP交AB于點(diǎn)D，BC、PA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．
（1）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若sinE=

3

5

，PA=6，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）先利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，則∠POA=∠POB，于是可根據(jù)“SAS”判斷△PAO≌△PBO，則∠PAO=∠PBO=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到PA是⊙O的切線(xiàn)；
（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定義可計(jì)算PE=10，則AE=PE-PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE=

OA

OE

=

3

5

，可設(shè)OA=3t，則OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，則4t=4，解得t=1，所以O(shè)A=3；接著在Rt△PBO中利用勾股定理計(jì)算出OP=3

5

，然后證明△EAC∽△EPO，再利用相似比可計(jì)算出AC．

解答：（1）證明：連接OA，如圖，
∵AC∥OP，
∴∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，

PO=PO ∠POA=∠POB OA=OB

，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO，
又∵PB⊥BC，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
∴OA⊥PE，
∴PA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵△PAO≌△PBO，
∴PB=PA=6，
在Rt△PBE中，∵sinE=

PB

PE

=

3

5

∴

6

PE

=

3

5

，解得PE=10，
∴AE=PE-PA=4，
在Rt△AOE中，sinE=

OA

OE

=

3

5

，
設(shè)OA=3t，則OE=5t，
∴AE=

OE2-OA2

=4t，
∴4t=4，解得t=1，
∴OA=3，
在Rt△PBO中，∵OB=3，PB=6，
∴OP=

OB2+PB2

=3

5

，
∵AC∥OP，
∴△EAC∽△EPO，
∴

AC

PO

=

EA

EP

，即

AC

3 5

=

4

10

，
∴AC=

6 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．