Question

6．已知，在直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A（-5，$\frac{15}{8}$），點(diǎn)B（-2，3），點(diǎn)C（0，3），拋物線C₁：y=a（x+3）²+k經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖2，試問在拋物線C₁上是否存在點(diǎn)P（不與點(diǎn)B重合），使得S_△AOB=S_△AOP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請經(jīng)過計(jì)算說明理由；
（3）2如圖，將拋物線C₁向右平移6個單位得到拋物線C₂，此時點(diǎn)B平移到點(diǎn)D，拋物線C₂的對稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為拋物線C₂對稱軸上一動點(diǎn)，以Q，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C₁解析式，求得a與k的值即可求得其解析式；（2）在拋物線C₁上找出與點(diǎn)B到直線OA的距離相等的點(diǎn)即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比值相等且夾角也相等的兩三角形相似，或：平行于三角形一邊的直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的三角形與原三角形相似，求得相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A（-5，$\frac{15}{8}$）和點(diǎn)B（-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-5+3）^{2}+k=\frac{15}{8}}\\{a（-2+3）^{2}+k=3}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{k=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{3}{8}（x+3）^{2}+\frac{27}{8}$
（2）直線OA：y=-$\frac{3}{8}$x，則過B平行于OA的直線BE：y=-$\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}$，
設(shè)拋物線C₁與直線BE交于點(diǎn)P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$（舍去）$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴${P}_{1}（-3，\frac{27}{8}）$．
直線BE交y軸于點(diǎn)E，則E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為F$（0，\frac{9}{4}）$，
∴過F平行于OA的直線MF：y=-$\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}$，
設(shè)拋物線C₁與直線MF交于點(diǎn)P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$．
∴P₂（-6，0），${P}_{3}（1，-\frac{21}{8}）$．
（3）拋物線C₁向右平移6個單位后所得拋物線C₂：y=-$\frac{3}{8}（x-3）^{2}+\frac{27}{8}$，
點(diǎn)B平移后得點(diǎn)D（4，3），
∵C（0，3），D（4，3），
∴CD∥x軸．
拋物線C₂的對稱軸為：直線x=3交x軸于Q₁（3，0）．
過O垂直于OM的直線交對稱軸于Q₂，
則有$O{{Q}_{1}}^{2}=M{Q}_{1}•{Q}_{1}{Q}_{2}$，
直線OD：y=$\frac{3}{4}x$交對稱軸于M（3，$\frac{9}{4}$），
∴Q₂（3，-4）
綜上所述，滿足要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）或（3，-4）．

點(diǎn)評 此題考查了垂徑定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系，（3）是結(jié)論開放性題目，需要進(jìn)行探索，解題時要分析滿足條件的不同情況，不可漏解．