Question

12．一根長(zhǎng)為20cm的鐵絲圍成一直角三角形，三邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)三角形的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為acm、bcm，斜邊長(zhǎng)為ccm，根據(jù)勾股定理可得出a、b、c間的關(guān)系，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)為20cm，即可得出關(guān)于c的一元二次不等式，解不等式即可得出c的取值范圍，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合a、b、c間的關(guān)系即可得出三角形面積S關(guān)于c的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及c的取值范圍即可求出S的最大值，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)以及ab與c之間的關(guān)系即可得出關(guān)于a、b的二元二次方程組，解方程組即可得出當(dāng)S去最大值時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為acm、bcm，斜邊長(zhǎng)為ccm，
由勾股定理可得：a²+b²=c²，
∵a+b+c=20，
∴20-c=a+b，
將其兩邊同時(shí)平方得：（20-c）²=（a+b）²，即400-40c+c²=a²+b²+2ab=c²+2ab，
∴400-40c=2ab≤a²+b²=c²，
整理得：c²+40c≥400，
∴c²+40c+400=（c+20）²≥800，
∵c＞0，
∴c≥20$\sqrt{2}$-20．
∵400-40c=2ab，
∴三角形面積S=$\frac{1}{2}$ab=100-10c，
∵-10＜0，
∴當(dāng)c取最小值時(shí)，S取最大值，
∴c=20$\sqrt{2}$-20時(shí)，S_最大=100-10（20$\sqrt{2}$-20）=300-200$\sqrt{2}$．
當(dāng)c=20$\sqrt{2}$-20時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{ab=600-400\sqrt{2}}\\{a+b=40-20\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=b=20-10$\sqrt{2}$．
故當(dāng)直角三角形的兩直角邊均為（20-10$\sqrt{2}$）cm、斜邊長(zhǎng)為（20$\sqrt{2}$-20）cm時(shí)，三角形的面積最大，最大面積為（300-200$\sqrt{2}$）cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、一次函數(shù)的性質(zhì)以及解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是找出三角形的面積S關(guān)于斜邊c的一次函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，勾股定理以及三角形的面積公式找出三角形的面積關(guān)于斜邊的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．