Question

5．如圖，已知拋物線y=（x-1）²+k的圖象與x軸交于點A（-1，0），C兩點，與y軸交于點B．
（1）求拋物線解析式及B點坐標；
（2）在拋物線上是否存在點P使S_△PAC=$\frac{3}{4}$S_△ABC？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入拋物線y=（x-1）²+k，求出k即可解決問題．
（2）存在．先求出△ABC的面積，再根據(jù)已知條件求出點P的縱坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）存在．分三種情形討①當(dāng)AQ=AB時，有兩種情形a、當(dāng)Q₁在x軸上方，；b、當(dāng)Q₂在x軸下方時，利用勾股定理即可解決問題．
②當(dāng)BA=BQ時，此時Q在x軸上，即Q₃（1，0）．
③當(dāng)QA=QB時，點Q在AB的垂直平分線上，求出線段AB的垂直平分線的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入拋物線y=（x-1）²+k得，0=4+k，
∴k=-4，
∴拋物線解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
令x=0，得y=-3，
∴點B坐標為（0，-3）．

（2）存在．如圖1中，

理由：令y=0，則x²-2x-3=0，
∴x=-1或3，
∴點A（-1，0），C（3，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵S_△PAC=$\frac{3}{4}$S_△ABC，
∴S_△PAC=$\frac{9}{2}$，設(shè)P（m，n），
則有$\frac{1}{2}$×4×|n|=$\frac{9}{2}$，
∴n=$±\frac{9}{4}$，
當(dāng)n=$\frac{9}{4}$時，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$，解得m=-$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$，此時P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
當(dāng)n=-$\frac{9}{4}$時，m²-2m-3=-$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，此時P（$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．

（3）如圖2中，存在．

①當(dāng)AQ=AB時，有兩種情形a、當(dāng)Q₁在x軸上方，此時Q₁（1，$\sqrt{6}$）；b、當(dāng)Q₂在x軸下方時，此時Q₂（1，-$\sqrt{6}$）．
②當(dāng)BA=BQ時，此時Q在x軸上，Q₃（1，0）．
③當(dāng)QA=QB時，點Q在AB的垂直平分線上，
∵A（-1，0），B（0，-3），
∴直線AB解析式為y=-3x-3，線段AB的中點為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)線段AB的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+m．
∴-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{6}$+m，
∴m=-$\frac{4}{3}$，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，與對稱軸的交點Q₄（1，-1），
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，-1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、三角形的面積．平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，屬于中考壓軸題．