Question

已知：拋物線y=x²-2x+a（a<0）與y 軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M，直線分別與x軸，y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N。
（1）填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M（ ，），N（____，____）；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a 的值和四邊形ADCN的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x+a（a<0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）M（1，a-1），；
（2）由題意得點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于y軸對稱， ∴ 將N′的坐標(biāo)代入y=x2-2x+a， 得 ∴a1=0（不合題意，舍去）， ∴ ∴點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為3， ∴， ∴直線AN′的解析式為， 它與x軸的交點(diǎn)為， ∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為， ∵直線BC與y軸的交點(diǎn)為， ∴S四邊形ADCN =S△ACN +S△ACD=；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，若四邊形ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC，如圖所示， ∴把N向上平移-2a個單位得到點(diǎn)P，P點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代人拋物線的解析式， 得： ∴a1=0（不合題意，舍去）， ∴； ②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，如圖所示， ∴OA=OC，OP=ON， ∴P與N關(guān)于原點(diǎn)對稱 ∴ ∴將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得： ∴a1=0（不合題意，舍去）， ∴ 綜上所述，存在這樣的點(diǎn)或使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。