Question

已知：P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分別為垂足，
（1）求證：AP=EF．
（2）若∠BAP=60°，PD=

2

，求EF的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CP，證四邊形EPFC是矩形，求出EF=PC，證△ABP≌△CBP，推出AP=CP即可；
（2）先根據(jù)△ABP≌△CBP得出∠BAP=∠BCP=60°，∠PCE=30°，再證△PFB是等腰直角三角形，求出PE的長度，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=CP，
∵EF=CP，
∴AP=EF．
（2）證明：∵由（1）知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP=60°，
∴∠PCE=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，
∴∠PDE=45°，
∵PE⊥CD，
∴DE=PE，
∵PD=

2

，
∴PE=1，
∴PC=2PE=2，
∵由（1）知EF=PC，
∴EF=2．

點評：本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的連接和掌握，能證出AP=PC是解此題的關(guān)鍵．