Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上。

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；（2）是否存在線(xiàn)段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）是否存在線(xiàn)段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由已知條件得：梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28，
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，
過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K，
則可得：FG=×4，
∴S_△BEF=BE·FG=-x²+x（7≤x≤10）；
（2）存在，
由（1）得：-x²+x=14 得x₁=7，x₂=5（不合舍去）
∴存在線(xiàn)段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE=7；
（3）不存在，
假設(shè)存在，顯然是：S_△BEF∶S_AFECD=1∶2，
（BE+BF）∶（AF+AD+DC）=1∶2
則有
整理得：3x²-24x+70=0
△=576-840<0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x，
即不存在線(xiàn)段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積，
同時(shí)分成1∶2的兩部分。