Question

如圖，直線y=2x-6與反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A（4，2），與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)直接得出xy=k求出即可，再利用圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法得出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)AB=BC₁=

5

時(shí)，當(dāng)AB=BC₂=

5

時(shí)，當(dāng)AB=BC₃=

5

時(shí)，當(dāng)C點(diǎn)在AB的垂直平分線上時(shí)，則AC=BC，求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=2x-6與反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A（4，2），
∴xy=k=2×4=8，
∴k=8，
當(dāng)y=0時(shí)，0=2x-6，
解得x=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：B（3，0）；

（2）∵A（4，2），B（3，0），
∴AB=

5

，
當(dāng)AB=BC₁=

5

時(shí)，
∴OC₁=3-

5

，
∴C₁坐標(biāo)為：（3-

5

，0）；
當(dāng)AB=BC₂=

5

時(shí)，
∴OC₂=5，
∴C₂坐標(biāo)為：（5，0）；
當(dāng)AB=BC₃=

5

時(shí)，
∴OC₃=3+

5

，
∴C₃坐標(biāo)為：（3+

5

，0）；
當(dāng)C點(diǎn)在AB的垂直平分線上時(shí)，
則AC=BC，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴AE=2，BE=4-3=1，
則EC=AC-BE=AC-1，
在Rt△AEC中
AE²+EC²=AC²，
∴2²+（AC-1）²=AC²，
解得：AC=2.5，
∴BC=2.5，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（5.5，0），
綜上所述：C點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，0)；(3-

5

，0)；(3+

5

，0)；(5.5，0)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．