Question

11．在直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，點(diǎn)P是邊AC一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在邊CB的延長(zhǎng)線上，且AP=BQ，連接PQ交線段AB于點(diǎn)O．
（Ⅰ）如圖1，小丁過點(diǎn)P作PH∥CB交線段AB于H，發(fā)現(xiàn)△OPH≌△OQB，請(qǐng)證明小丁發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（Ⅱ）如圖2，過點(diǎn)O作OM，ON分別垂直于AC，BC于點(diǎn)M，N，若四邊形OMCN的面積為$\frac{2}{9}$，求線段CP的長(zhǎng)度．
（Ⅲ）如圖3，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P′，連接OP′，CP′，試說明∠OP′C=45°．

Answer 1

分析 （1）易證∠OPH=∠Q，即可證明△OPH≌△OQB；
（2）易證ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易證OB=OH，根據(jù)平行線性質(zhì)可得CN=PN，即可解題；
（3）過C作CG⊥AB，作PH∥BC，易證OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可證明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P′OK=∠OCG，即可求得∠P′OK+∠COG=90°，即可解題．

解答 （1）證明：∵PH∥BC，
∴∠OPH=∠Q，
在△OPH和△OQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOQ=∠HOP}\\{∠OPH=∠Q}\\{PH=BQ}\end{array}\right.$，
∴△OPH≌△OQB（AAS）；

（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四邊形OMCN為矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=$\frac{2}{9}$，CN+NO=1，
∴CN=$\frac{1}{3}$，AN=$\frac{2}{3}$，
∵△OPH≌△OQB，
∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴$\frac{HO}{BO}$=$\frac{PN}{CN}$=1，
∴CP=$\frac{2}{3}$；

（3）解：過C作CG⊥AB，作PH∥BC，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P′，
∴OP=OP′，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH為等腰直角三角形，
∵PP′⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=$\frac{1}{2}$AB，
∵CG⊥AB，
∴CG=AO=BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴OK=CG，
在R_t△OP′K和R_t△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OK=CG}\\{OC=OP′}\end{array}\right.$，
∴R_t△OP′K≌R_t△COG（HL），
∴∠P′OK=∠OCG，OC=OP′，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P′OK+∠COG=90°，即∠P′OC=90°，
∴△COP′是等腰直角三角形，
∴∠CP′O=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△OPH≌△OQB和RT△OP'K≌RT△COG是解題的關(guān)鍵．