Question

如圖，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的表達(dá)式為．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖①，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，作直線(xiàn)軸，交直線(xiàn)于，交拋物線(xiàn)于，作∥軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)，四邊形為矩形．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時(shí)周長(zhǎng)最大；

（3）如圖②，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖① 圖②

 

Answer 1

（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-x2-2x+3，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1,4）；

（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；

當(dāng)m=-時(shí)，最大值L=9；

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．

【解析】

試題分析：（1）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）由題意可表示出D、E的坐標(biāo)，從而得到DE的長(zhǎng)，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長(zhǎng)L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；

（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．

試題解析：（1）直線(xiàn)y=x+3與x軸相交于A（-3,0 ），與y軸相交于B（0,3）

拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3,0 ），B（0,3），所以，

,

∴，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的表達(dá)式為y=-x2-2x+3，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-1,4）．

（2）因?yàn)镈在直線(xiàn)y=x+3上，∴D（m,m+3）．

因?yàn)镋在拋物線(xiàn)上，∴E（m，-m2-2m+3）．

DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．

由題意可知，AO=BO,

∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，

∴DE=EF．

L=4DE=-4m2-12m．

L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．

∵a=-4<0,

∴二次函數(shù)有最大值

當(dāng)m=-時(shí)，最大值L=9．

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、正方形的判定；3、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；4、等腰三角形．