Question

15．如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為BC中點，EF∥AD交AB于點F．若BF=4AF，CD=$\frac{12}{5}$，則AC=$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)∠C=2∠B添加輔助線，在AB上截取AM=AC構(gòu)造△DAM≌△DAC得DC=DM=BM，根據(jù)EF∥AD，求出CD，再證明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}$列出方程解決問題．

解答 解：如圖作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，在AB上截取AM=AC，
∵DA平分∠BAC，
∴DG=DH，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DH}{\frac{1}{2}•AC•DG}$=$\frac{AB}{AC}$，
設(shè)BE=EC=4a，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{ED}=\frac{4}{1}$，
∴ED=a，CD=3a=$\frac{12}{5}$，
∴a=$\frac{4}{5}$，BD=5a=4，
在△ADM和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAM=∠DAC}\\{AM=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DAC，
∴DM=DC，∠AMD=∠C，
∵∠C=2∠B，
∴∠AMD=∠B+∠MDB=2∠B，
∴∠B=∠MDB，
∴BM=MD=CD=$\frac{12}{5}$，設(shè)AC=AM=x，
則有$\frac{x+\frac{12}{5}}{x}=\frac{4}{\frac{12}{5}}$，
∴x=$\frac{18}{5}$．
故答案為$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵的利用2倍角添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，想到用方程解決問題，屬于中考填空題的壓軸題．