Question

已知，如圖中，等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h，若點P在一邊BC上（如圖①），此時h₃=0，可得結論：h₁+h₂+h₃=h。請直接應用上述信息解決下列問題：
當點P在△ABC內（如圖②）、點P在△ABC外（如圖③）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請簡述理由；若不成立，h₁、h₂、h₃與h之間又有怎樣的關系，請寫出你的猜想，不需證明。

Answer 1

解：當點P在△ABC內部時，結論h₁+h₂+h₃=h仍然成立。
如圖，過點P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM于點N、Q、K，

則△ANQ仍為等邊三角形，由①可知h₁+h₂=AK
∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC
∴KM=PF=h₃
∴h₁+h₂+h₃=AK+KM=AM=h
當點P在△ABC外部時，h₁、h₂、h₃與h之間的關系為h₁+h₂-h₃=h，如上圖，證法同上。