Question

【題目】如圖，平面直角坐標系 xOy 中，已知點 A(0，3)，點 B(，0)，連接 AB．若對于平 面內一點 C，當△ABC 是以 AB 為腰的等腰三角形時，稱點 C 是線段 AB 的“等長點”

(1)在點 C1 (－2， )，點 C2 (0，－2)，點 C3 (， )中，線段 AB 的“等長點”是點______________；

(2)若點 D( m ， n )是線段 AB 的“等長點”，且∠DAB＝60，求 m 和 n 的值．

Answer 1

【答案】（1）C1 ，C3；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理分別求出三角形的三條邊長，判斷是否是以AB為腰的等腰三角形；（2）分兩類情況討論：①當點D在y軸左側時，②當點D在y軸右側時，結合等長點的定義分別求出兩種情況m、n的值即可.

試題解析：

解：(1) C1 (－2，3+2)，AO=3，BO=，

作C1D⊥x軸交于點D，作C1E⊥y軸交于點E，

∴C1D=3+2，C1E=2，

由勾股定理可得：AB=2，AC1=2，

∴C1是線段AB的等長點；

同理可證：C3是線段AB的等長點；

（2）如圖1，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

∴AB=2，tan∠OAB=，

∴∠OAB＝30°，

①當點D在y軸左側時，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠DAB－∠BAO= 30°，

∵點D( m，n )是線段AB的“等長點”，

∴AD=AB，

∴D（，0），

∴m=，n=0；

②當點D在y軸右側時，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB= 90°，

∴n=3,

∵點D( m，n )是線段AB的“等長點”，

∴AD=AB=2，

∴m=2.

∴m=2，n=3.