Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為M（2，1），且過(guò)點(diǎn)N（3，2）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若一次函數(shù)y=-x-4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q，以PQ為直徑作圓交直線AB于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，問(wèn)：當(dāng)n為何值時(shí)，線段DQ的長(zhǎng)取得最小值？最小值為多少？

Answer 1

解：（1）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-2）²+1．
把x=3，y=2代入得a+1=2，解得a=1．
故這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x-2）²+1（或?qū)懗蓎=x²-4x+5）．

（2）由題意知P（n，n²-4n+5），Q（n，-n-4）． 
∴PQ=n²-4n+5-（-n-4）=n²-n+9=（n-）²+． 
∴當(dāng)n=時(shí)，PQ取得最小值為．
易證△DPQ∽△OAB，
∴=，
∴DQ=PQ．
∴當(dāng)n=時(shí)，DQ取得最小值，為．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，1），則設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a（x-2）²+1，把N的坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由題意知P（n，n²-4n+5），Q（n，-n-4）． 根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得到當(dāng)n=時(shí)，PQ取得最小值為．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間的距離公式，函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．