Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=2，BC=4，∠B=60°，如果P是BC上一點，Q是AP上一點，且∠AQD=60°
（1）求證：△ABP∽△DQA；
（2）當(dāng)點P在BC上移動時，線段DQ的長度也隨之變化，設(shè)PA=x，DQ=y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)已知求得∠DAQ=∠APB，∠B=∠AQD，即可求得結(jié)論；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N，即可求得BM=CN=1，然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求得AB=CD=2，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，通過求得AC的長，即可求得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠APB，
∵∠B=60°，∠AQD=60°，
∴∠B=∠AQD，
∴△ABP∽△DQA；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N，
∵等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=2，BC=4，∠B=60°，
∴BM=CN=1，
∴AB=CD=2BM=2，
∵△ABP∽△DQA，
∴

AD

AP

=

DQ

AB

，
設(shè)PA=x，DQ=y．
∴

2

x

=

y

2

，
∴y=

4

x

，
∵AD=DC=2，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DCA=∠ACB，
∵∠B=∠BCD=60°，
∴∠ACB=30°
∴∠BAC=90°，
∴AC=

BC2-AB2

=

42-22

=2

3

，
∴x的取值范圍為2＜x＜2

3

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等，求得AB的長是關(guān)鍵．