Question

兩塊全等的含30°、60°的直角三角板如圖所示放置．點B、C、D在同一條直線上，連接AE．點M是AE的中點，連接BM、MD．試猜想△BMD的形狀，并請說明理由．

Answer 1

猜想：△BMD是等腰直角三角形．
證明：連接MC，
∵AC=CE，∠BCA=60°，∠DCE=30°，點B、C、D在同一條直線上，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAM=45°，
∵點M是AE的中點，
∴AM=CM=ME，∠MCE=45°（等腰三角形三線合一），
∵∠BAC=30°，
∠DCE=30°，∠MCE=45°，
∴∠BAM=∠DCM=75°，
AB=CD，AM=CM，
∴△ABM≌△CDM（SAS）
∴BM=DM．∠AMB=∠CMD，
又∠AMB+∠BMC=90°，
∠CMD+∠BMC=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
分析：首先證明△ACE是等腰直角三角形，根據M是AE的中點，可得∠BAM=∠DCM=75°，AB=CD，AM=CM，證明△ABM≌△CDM，
進而求出即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定性質及等腰三角形性質．題目綜合性較強，難度較大，關鍵是證明△ABM≌△CDM．