Question

試求滿足

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2014

，且x-y最大的正整數(shù)組（x，y）（x＞y＞2014）．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）,質(zhì)因數(shù)分解

專題：

分析：可將原方程轉(zhuǎn)化為（x-2014）（y-2014）=2014×2015，由x＞y＞2014可得x-2014＞y-2014＞0，由x-y最大可得（x-2014）-（y-2014）最大，再由x、y都是正整數(shù)可得x-2014是2014×2015最大的正約數(shù)，y-2014是2014×2015最小的正約數(shù)，從而可求出x、y的值，就可解決問題．

解答：解：等式兩邊同乘以2014xy得：
2014y+2014x+2014=xy，
∴xy-2014x-2014y=2014，
∴（x-2014）（y-2014）=2014²+2014，
∴（x-2014）（y-2014）=2014×2015．
∵x＞y＞2014，
∴x-2014＞y-2014＞0，
∵x-y最大，
∴（x-2014）-（y-2014）=x-y最大．
又∵x、y都是正整數(shù)，
∴x-2014=2014×2015，y-2014=1，
∴x=2014×2016=4060224，y=2015．
∴符合要求的正整數(shù)組為（4060224，2015）．

點評：本題考查的是解非一次不定方程、質(zhì)因數(shù)分解等知識，而將方程轉(zhuǎn)化為兩個因式的乘積等于一個正整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．