Question

如圖，拋物線y=x²﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；
（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0， 解得x1=﹣1或x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2， 代入y=x2﹣2x﹣3， 得：y=﹣3， ∴C（2，﹣3）； ∴直線AC的函數(shù)解析式是： y=﹣x﹣1； （2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2）， 則P、E的坐標(biāo)分別為： P（x，﹣x﹣1）， E（x，x2﹣2x﹣3）， ∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方， PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3） =﹣x2+x+2 =﹣（x﹣）2+， ∴當(dāng)時(shí)，PE的最大值=； （3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是： F1（1，0）， F2（﹣3，0）， F3（4+，0）， F4（4﹣，0）． ①如圖1， 連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)， 那么CG∥x軸， 此時(shí)AF=CG=2， 因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，0）； ②如圖2， AF=CG=2， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）， 因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）； ③如圖3， 此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱， 因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3， 代入拋物線中， 即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1±，3）， 由于直線GF的斜率與直線AC的相同， 因此可設(shè)直線GF的解析式為： y=﹣x+h， 將G點(diǎn)代入后， 可得出直線的解析式為： y=﹣x+7． 因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為： （4+，0）； ④如圖4， 同③可求出F的坐標(biāo)為： （4﹣，0）； 綜合四種情況可得出， 存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．

圖1 圖2 圖3 圖4