Question

9．已知二次函數y=x²+mx+n的圖象經過點P（-3，1），對稱軸是經過（-1，0）且平行于y軸的直線．
（1）求m、n的值；
（2）如圖，一次函數y=kx+b的圖象經過點P，與x軸相交于點A，與二次函數的圖象相交于另一點B，點B在點P的右側，PA：PB=1：5，求一次函數的表達式．

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸公式求得m，把P（-3，1）代入二次函數y=x²+mx+n得出n=3m-8，進而就可求得n；
（2）根據（1）得出二次函數的解析式，根據已知條件，利用平行線分線段成比例定理求得B的縱坐標，代入二次函數的解析式中求得B的坐標，然后利用待定系數法就可求得一次函數的表達式．

解答 解：∵對稱軸是經過（-1，0）且平行于y軸的直線，
∴-$\frac{m}{2×1}$=-1，
∴m=2，
∵二次函數y=x²+mx+n的圖象經過點P（-3，1），
∴9-3m+n=1，得出n=3m-8．
∴n=3m-8=-2；
（2）∵m=2，n=-2，
∴二次函數為y=x²+2x-2，
作PC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{PA}{AB}$，
∵P（-3，1），
∴PC=1，
∵PA：PB=1：5，
∴$\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{6}$，
∴BD=6，
∴B的縱坐標為6，
代入二次函數為y=x²+2x-2得，6=x²+2x-2，
解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴B（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數的表達式為y=x+4．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式和一次函數的解析式，根據已知條件求得B的坐標是解題的關鍵．