Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，直線DP與軸交于點(diǎn)M．問：

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時(shí)直線DP的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，是否存在使與相似的點(diǎn)M，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長為AC，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F．請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅?i>DEPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．

注：第（3）問請用備用圖解答．

 

Answer 1

解：（1）連結(jié)與交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線平分矩形的面積．理由如下：

　　∵矩形是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心．

　　又據(jù)經(jīng)過中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心的任一直線平分此中心對(duì)稱圖形的面積，因?yàn)橹本�過矩形的對(duì)稱中心點(diǎn)，所以直線平分矩形的面積．

　　由已知可得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

　　設(shè)直線的函數(shù)解析式為．

則有　解得，．

所以，直線的函數(shù)解析式為：．

（2）存在點(diǎn)使得與相似．

如圖，不妨設(shè)直線與軸的正半軸交于點(diǎn)．

因?yàn)?sub>，若△DOM與△ABC相似，則有或．

當(dāng)時(shí)，即，解得．所以點(diǎn)滿足條件．

當(dāng)時(shí)，即，解得．所以點(diǎn)滿足條件．

由對(duì)稱性知，點(diǎn)也滿足條件．

綜上所述，滿足使與相似的點(diǎn)有3個(gè)，分別為、、．

（3）如圖 ，

 

過D作DP⊥AC于點(diǎn)P，以P為圓心，半徑長為畫圓，過點(diǎn)D分別作的切線DE、DF，點(diǎn)E、F是切點(diǎn)．除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P₁，半徑長為畫圓，過點(diǎn)D分別作的切線DE₁、DF₁，點(diǎn)E₁、F₁是切點(diǎn)．

在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．

∴Ｓ_{四邊形DEPF}＝2Ｓ_△DPE＝2×．

∴當(dāng)DE取最小值時(shí)，Ｓ_{四邊形DEPF}的值最小．

∵，，

∴．

∵，∴．

∴．由點(diǎn)的任意性知：DE是

點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長的最小值．……12分

在△ADP與△AOC中，∠DPA＝∠AOC，

∠DAP＝∠CAO，  ∴△ADP∽△AOC．

∴，即．∴．

∴．

∴Ｓ_{四邊形ＤＥＰＦ}＝，即Ｓ＝．