Question

（2013•張家界）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．
（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；
（4）如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．
利用軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長最小．
如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．

解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
將C（0，1），D（1，0）代入得：

1=b k+b=0

，
解得：b=1，k=-1，
∴直線CD的解析式為：y=-x+1．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3，
將C（0，1）代入得：1=a×（-2）²+3，解得a=-

1

2

．
∴y=-

1

2

（x-2）²+3=-

1

2

x²+2x+1．

（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸，則點(diǎn)C、E關(guān)于對稱軸（直線x=2）對稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）．
如答圖①所示，設(shè)對稱軸（直線x=2）與CE交于點(diǎn)M，則M（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．
如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．
（證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．
由軸對稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．）
如答圖③所示，連接C′E，
∵C，C′關(guān)于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，
∴△QC′E為等腰直角三角形，
∴△CEC′為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）；
∵C，C″關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（0，-1）．
過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=

NC′2+NC″2

=

42+62

=2

13

．
綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為2

13

．

點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度．本題難點(diǎn)在于第（4）問，如何充分利用軸對稱的性質(zhì)確定△PCF周長最小時(shí)的幾何圖形，是解答本題的關(guān)鍵．