Question

在平面直角坐標(biāo)系中A（0，2），B（4，0），已知AC交BC于點(diǎn)C，AC∥x軸，BC∥y軸，①以C為對(duì)稱中心，作△ABC關(guān)于C的像△A₁B₁C；②將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB₂C₁（題中已經(jīng)作出），繼續(xù)沿y軸作△AB₂C₁的軸對(duì)稱圖形得到△AB₃C₁
（1）按要求做出△A₁B₁C和△AB₃C₁；
（2）已知拋物線P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，A₁，請(qǐng)求出該拋物線方程；
（3）平移（2）中的拋物線，設(shè)新的拋物線方程為y=ax²-mx+3m²+5，并使拋物線的頂點(diǎn)落在△B₁B₂B₃邊上或內(nèi)部，求m的范圍．

Answer 1

解：（1）如圖所示，△A₁B₁C和△AB₃C₁即為所求作的三角形；

（2）由圖可知，A、B、A₁的坐標(biāo)分別為：A（0，2），B（4，0），A₁（8，2），
設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，該拋物線方程為y=x²-x+2；

（3）根據(jù)平移變換的性質(zhì)并由題（2）可知a=，
所以，新拋物線為y=x²-mx+3m²+5=（x-4m）²+m²+5，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，m²+5），
根據(jù)圖形，B₁（4，4），B₃（-2，6），設(shè)直線B₁B₃的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線B₁B₃的解析式為y=-x+，
根據(jù)圖形B₁（4，4），B₂（2，6），設(shè)直線B₁B₂的解析式為y=ex+f，
則，
解得，
所以，直線B₁B₂的解析式為y=-x+8，
∵頂點(diǎn)在三角形內(nèi)部或者邊上，
∴①-2≤4m≤4，解得-≤m≤1，
②m²+5≤6，解得-1≤m≤1，
③-m+≤m²+5，整理得，3m²+m-1≥0，
解得m≥或m≤，
④-m+8≥m²+5，整理得，m²+m-3≤0，
解得≤m≤，
在數(shù)軸上表示如下：

所以，m的取值范圍是≤m≤1．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)C的像，然后順次連接即可得到△A₁B₁C，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B₂關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B₃的位置，然后作出△AB₃C₁即可；
（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A、B、A₁的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出a的值，然后表示出新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線B₁B₃的解析式與直線B₁B₂的解析式，然后根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)在△B₁B₂B₃邊上或內(nèi)部，則橫坐標(biāo)在點(diǎn)B₁、B₃之間，縱坐標(biāo)的值不大于直線B₂B₃的函數(shù)值，不大于直線B₁B₂的函數(shù)值，不小于直線B₁B₃的函數(shù)值，分別求不等式的解，然后求各解集的公共部分即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的問(wèn)題，主要有利用中心對(duì)稱變換與軸對(duì)稱變換作圖，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（3）相比較較為復(fù)雜，根據(jù)平移的性質(zhì)求出a的值，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)在三角形的內(nèi)部與外部，根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)結(jié)合三角形三邊的解析式列出不等式是解題的關(guān)鍵，另外，一元二次不等式的求解比較難，可以借助二次函數(shù)圖象求解．