Question

如圖已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點。
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組解得：
∴拋物線的解析式為 ：
（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形，如圖所示，
若△ABO∽△AP₁D，則
∴DP₁=AD=4  ,∴P₁
若△ABO∽△ADP₂ ，過點P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4,
∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP₂是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P₂M，即點M與點C重合,∴P₂（1，2）
（3）如圖設(shè)點E則 ，
①當(dāng)P₁(-1,4)時，S_{四邊形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE =
∴    ∴
∵點E在x軸下方 ∴
代入得： ,即 ∵△=(-4)²-4 ×7=-12<0
∴此方程無解
②當(dāng)P₂（1，2）時，S_{四邊形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =
∴    
∴
∵點E在x軸下方  
∴  代入得：
即 ，
∵△=(-4)²-4 ×5=-4<0
∴此方程無解
∴此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.