Question

9．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=2，CD=1．下列結(jié)論：①∠AED=∠ADC；②$\frac{DE}{DA}$=$\frac{1}{2}$；③BF=2AC；④BE=DE，其中正確的有①③④（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)已知條件得到∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，即可得到結(jié)論；
②易證△ADE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE：DA=DC：AC=1：AC，AC不一定等于2；
③連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解；
④BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)判斷．

解答 解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本選項正確；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，但AC的值未知，
故不一定正確；
③連接DM．
在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，則DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=2：1；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=2：1，
∴BF=2AC．
故本選項正確；
④由③可知BM：MA=BF：AC=2：1
∵BD：DC=2：1，∴DM∥AC，DM⊥BC，
∴∠MDA=∠DAC=∠DAM，而∠ADE=90°，
∴DM=MA=ME，在Rt△BDM中，由BM=2AM可知BE=EM，
∴ED=BE．故④正確．
故答案為：①③④．

點評 此題重點考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意題目中相等線段的替換，此題綜合性強，有一定難度．